اگر $\lfloor x \rfloor = 2$، آنگاه $x$ برابر چه اعدادی میتواند باشد؟ مجموعه جواب را به صورت بازه بنویسید.
جزء صحیح یک عدد ($x$) که با $\lfloor x \rfloor$ نمایش داده میشود، **بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی $x$** است.
اگر $\lfloor x \rfloor = 2$ باشد، این به معنای آن است که عدد $x$ بین $2$ و $3$ قرار دارد، به طوری که $x$ میتواند برابر $2$ باشد اما نمیتواند برابر $3$ باشد.
$$\lfloor x \rfloor = k \iff k \le x < k + 1$$
با جایگذاری $k = 2$:
$$2 \le x < 2 + 1 \Rightarrow 2 \le x < 3$$
$$\text{مجموعهٔ جواب}: [2, 3)$$
برای رسم نمودار یک تابع جزء صحیح باید توجه کنیم که اعداد هر بازهای از دامنه، به چه عددی نسبت داده میشود. برای مثال اگر $0 \le x < 1$، آنگاه $\lfloor x \rfloor = \dots$. پس مقدار تابع با ضابطهٔ $f(x) = \lfloor x \rfloor$ برای همهٔ اعداد عضو بازهٔ $[0, 1)$ برابر صفر میشود.
در شکل مقابل بخشی از نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x) = \lfloor x \rfloor$ رسم شده است. نمودار این تابع را در بازهٔ $[-4, 4)$ تکمیل کنید.
جزء صحیح $\lfloor x \rfloor$ در هر بازهٔ $[k, k + 1)$ برابر با عدد صحیح $k$ است.
**۱. تکمیل جای خالی**:
$$\text{برای مثال اگر } 0 \le x < 1 \text{، آنگاه } \lfloor x \rfloor = \mathbf{0}$$
**۲. تکمیل نمودار $f(x) = \lfloor x \rfloor$ در بازهٔ $[-4, 4)$**
نمودار تابع جزء صحیح، شامل پارهخطهای افقی است که به آن **نمودار پلهای** میگویند.
* در هر بازهٔ $[k, k + 1)$، نمودار یک پارهخط افقی در ارتفاع $y = k$ دارد.
* نقطهٔ سمت چپ (در $x=k$) **پُر** و نقطهٔ سمت راست (در $x=k+1$) **توخالی** است.
| بازهٔ $x$ | مقدار $\lfloor x \rfloor$ |
| :---: | :---: |
| $[-4, -3)$ | $-4$ |
| $[-3, -2)$ | $-3$ |
| $[-2, -1)$ | $-2$ |
| $[-1, 0)$ | $-1$ |
| $[0, 1)$ | $0$ |
| $[1, 2)$ | $1$ |
| $[2, 3)$ | $2$ |
| $[3, 4)$ | $3$ |
$$\text{نمودار تکمیل شده شامل پلههای افقی با ارتفاعهای } -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \text{ است.}$$
الف) به دلخواه نقطهای مانند $a$ را روی محور اعداد داده شده مشخص کنید.
ب) نقطهٔ $a + 3$ را روی این محور مشخص کنید.
پ) نقاط $\lfloor a \rfloor$ و $\lfloor a + 3 \rfloor$ را روی محور مشخص کنید.
ت) چه رابطهای بین $\lfloor a + 3 \rfloor$ و $\lfloor a \rfloor + 3$ برقرار است؟
$$\lfloor a + 3 \rfloor = \lfloor a \rfloor + \dots$$
ث) چه نتیجهای میگیرید؟
$$\text{«اگر } a \text{ عددی حقیقی و } n \text{ عددی صحیح باشد، آنگاه } \lfloor a + n \rfloor = \lfloor a \rfloor + \dots \text{»}$$
این فعالیت به بررسی خاصیت جابجایی عدد صحیح در جزء صحیح میپردازد.
**الف، ب، پ) مشخص کردن نقاط روی محور**
فرض میکنیم $a$ عددی غیرصحیح مانند $1.4$ باشد.
* $a = 1.4$ (نقطهٔ $1.4$)
* $a + 3 = 4.4$ (نقطهٔ $4.4$)
* $\lfloor a \rfloor = \lfloor 1.4 \rfloor = 1$ (نقطهٔ $1$)
* $\lfloor a + 3 \rfloor = \lfloor 4.4 \rfloor = 4$ (نقطهٔ $4$)
**ت) رابطه بین $\lfloor a + 3 \rfloor$ و $\lfloor a \rfloor + 3$**
$$\lfloor a \rfloor + 3 = 1 + 3 = 4$$
$$\text{چون } \lfloor a + 3 \rfloor = 4 \text{ است، پس: }$$
$$\lfloor a + 3 \rfloor = \lfloor a \rfloor + 3$$
**نتیجه**: $$\lfloor a + 3 \rfloor = \lfloor a \rfloor + \mathbf{3}$$
**ث) نتیجهگیری کلی**
این خاصیت برای هر عدد صحیح $n$ برقرار است، زیرا افزودن یک عدد صحیح، فقط مقدار $\lfloor x \rfloor$ را به اندازهٔ همان عدد صحیح جابجا میکند و قسمت اعشاری را تغییر نمیدهد.
$$\text{«اگر } a \text{ عددی حقیقی و } n \text{ عددی صحیح باشد، آنگاه } \lfloor a + n \rfloor = \lfloor a \rfloor + \mathbf{n}\text{»}$$
